ऊंचाई और दूरी (Height and Distance) || Short Tricks || त्रिकोणमिति [Trigonometry] - भाग 2

ऊंचाई और दूरी (Height and Distance) || Short Tricks || त्रिकोणमिति [Trigonometry] - भाग 2




उन्नयन कोण (Angle Of Elevation) :- जब कोई प्रेक्षक किसी वस्तु को अपनी आंख से ऊपर की ओर देखता है तो परीक्षा की आंख से जाने वाली क्षैतिज रेखा तथा आंख से उस वस्तु को मिलाने वाली दृष्टि रेखा के बीच बने  न्यून कोण को उन्नयन कोण कहते हैं
                                 अर्थात
"जब कोई प्रेक्षक किसी वस्तु को धरातल से ऊपर की ओर देखता है तो धरातल के साथ बने कोण को उन्नयन कोण कहते हैं"
             

अवनमन कोण (Angle Of Depression) :- जब कोई प्रेक्षक किसी वस्तु को अपनी आंख से नीचे की ओर देखता है तो परीक्षा की आंख से जाने वाली क्षैतिज रेखा तथा आंख से उस वस्तु को मिलाने वाली दृष्टि रेखा के बीच बने  न्यून कोण को और अवनमन कोण कहते हैं 
                                 अर्थात
"जब कोई प्रेक्षक किसी वस्तु को  ऊपर से नीचे की ओर धरातल पर देखता है तो धरातल के साथ बने कोण को अवनमन कोण कहते हैं"




दृष्टि रेखा: किसी वस्तु की दृष्टि रेखा वह रेखा है जो कोई प्रेक्षक की अपनी आंख से उस वस्तु को वह देख रहा हो


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ऊंचाई और दूरी ज्ञात करने का सूत्र और शार्ट ट्रिक्स - [Formula and Short Tricks to find  Height and Distance]

यदि किसी बिंदु A से दो कोण जिसमें छोटा कोण ACD (Ɵ1) तथा बड़ा  कोण ADB (Ɵ2) हो तो निम्न सूत्र द्वारा आसानी से बहुत जल्द  ऊंचाई और दूरी पता  कर सकतेँ हैं
  



Short Trick Formula:

d = h (cot Ɵ1 – cot Ɵ2)

Ɵ1 = छोटा कोण

Ɵ2 = बड़ा कोण

d = दो स्थानों के बीच दूरी


h = ऊंचाई

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उदाहरण :- 120 मीटर लंबा पतंग का धागा जमीन के साथ 30 डिग्री का कोण बना रहा है। पतंग की जमीन से ऊंचाई क्या है?




Sin 30° = h/120
1/2 = h/120
h = 60m



उदाहरण :- एक पेड़ हवा से झुक जाता है। पेड़ का शीर्ष 60 डिग्री के कोण पर जमीन से मिलता है। यदि  पेड़ की जड़ और शीर्ष के बीच की दूरी 8 मीटर हो तो पेड़ की ऊंचाई क्या थी?



tan 600 = x/ 8

√3 = x / 8

x = 8 √3

y cos 600 = 8 / y

1/2 = 8 / y

y = 16

इसलिए पेड़ की ऊंचाई = x + y

= 8√3 + 16

= 8 (√3 + 2)

उदाहरण :- जमीन पर एक बिंदु से एक टावर के शीर्ष की ऊंचाई का  कोण 30 डिग्री है। टावर की तरफ 100 मीटर चलने पर ऊंचाई का कोण 60 डिग्री हो  जाता है। टावर की ऊंचाई क्या है



In right triangle ABD,
tan 60° = h/x
√3 x = h
x = h/√3
Again , in right triangle ABC ,
tan 30 = h/x+100
1/√3 = h/x+100
√3 h = x+100
√3 h = h/√3 + 100
√3 h – h/√3 =100
3 h – h/√3    =100
2 h = 100√3
h = 50√3

By short trick:
d = h (cot Ɵ1 – cot Ɵ2)
Ɵ1 = small angle
Ɵ2 = large angle
d = distance between two places
h = height

h = 100/(√3-1/√3) 
   = 100*√3/2 
    = 50√3

Ɵ1 = छोटा कोण

Ɵ2 = बड़ा कोण

d = दो स्थानों के बीच दूरी

h = ऊंचाई

उदाहरण :- नदी के नजदीक एक मंदिर के शीर्ष से नदी के दोनों किनारों के अवनमन के कोण 45 डिग्री और 30 डिग्री हैं। यदि मंदिर की ऊंचाई 100 मीटर है तो नदी की चौड़ाई क्या है ?




By short trick:
d = h (cot Ɵ1 – cot Ɵ2)
Ɵ1 = small angle = 300
Ɵ2 = large angle = 450
d = distance between two places
h = height = 100

h = 100/(√3-1)  Answer

उदाहरण :-  एक नहर के एक तट पर एक  टावर उर्ध्वाधरत: खड़ा है। टावर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 600 है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 m दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर  स्थित एक अन्य बिन्दु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 300 है।  टावर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञाता कीजिए।
                              

By short trick:

d = h (cot Ɵ1 – cot Ɵ2)

Ɵ1 = small angle = 300

Ɵ2 = large angle = 600

d = distance between two places = 20

h = height = ?


d = h (cot Ɵ1 – cot Ɵ2)

20=h(cot 30 – cot 60)

20 = h(√3-1/√3) 


H= 10√3 

tan 600  =AB/CB
   
√3      = 10√3 /CB

CB =  10m

अत: मीनार की ऊँचाई 10√3  तथा नहर की चौड़ाई 10 m है। उत्तर

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